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Question

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{p=1}^n 2p = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n$ होता है। अतः,योग के अंदर का पद $\cot^{-1}(1 + n^2 + n) = 	an^{-1}\left(\f

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$\frac{21}{19}$

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(A) हम जानते हैं कि $\sum_{p=1}^n 2p = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n$ होता है। अतः,योग के अंदर का पद $\cot^{-1}(1 + n^2 + n) = 	an^{-1}\left(\frac{1}{1 + n(n+1)}ight)$ है। सर्वसमिका $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं: $	an^{-1}\left(\frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}ight) = 	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n)$। अब,योग इस प्रकार होगा: $\sum_{n=1}^{19} (	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n)) = (	an^{-1} 2 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 2) + \dots + (	an^{-1} 20 - 	an^{-1} 19)$। यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर $	an^{-1} 20 - 	an^{-1} 1$ हो जाती है। सूत्र $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करने पर: $	an^{-1} 20 - 	an^{-1} 1 = 	an^{-1}\left(\frac{20-1}{1+20 	imes 1}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{19}{21}ight)$। अंत में,हमें $\cot(	an^{-1}(19/21)) = \cot(\cot^{-1}(21/19)) = \frac{21}{19}$ प्राप्त होता है।

$\cot \left( {\sum\limits_{n = 1}^{19} {{{\cot }^{ - 1}}\left( {1 + \sum\limits_{p = 1}^n {2p} } \right)} } \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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